Octogone

Infos
Un octogone régulier Un octogone est un polygone possédant huit côtés.
Octogone

Un octogone régulier Un octogone est un polygone possédant huit côtés.

Octogone régulier

Propriétés

Un octogone régulier est un octogone dont les huit côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même valeur.
- L'angle interne entre deux côtés consécutifs d'un octogone régulier vaut 3π/4, soit 135° ; la somme de tous les angles internes est égale à 6π, soit 1 080°.
- Pour un octogone régulier dont la longueur des côtés est a :
- Le rayon du cercle circonscrit à l'octogone est R=\frac 2\sin \frac \pi = \frac \sqrt 2-\sqrt 2 \simeq 1.3066 a.
- Le rayon du cercle inscrit à l'octogone est r=\frac (1 + 2 \cos(\frac \pi))
- = \frac \cot\left(\frac\pi\right) \simeq 1.2071 a .
- Le périmètre de l'octogone est égal à P=8a.
- L'aire de l'octogone est égale à A = 2a^2 \cot \frac \pi = 2(1+\sqrt)a^2 \simeq 4.82843 a^2 (\cot est ici la fonction cotangente). Elle vaut également 2R^2\sqrt et 8r^2(\sqrt-1).

Construction

Construction d'un octogone régulier à la régle et au compas L'octogone régulier est un polygone régulier possédant 8 côtés, soit 23 côtés. D'après le théorème de Gauss-Wantzel, il est constructible à la règle et au compas. La construction suivante est possible :
- 1 : tracer une droite.
- 2 : tracer un cercle dont le centre est situé sur la droite.
- 3 : tracer un arc de cercle dont le centre est situé à l'intersection de la droite et du cercle précédent, de même rayon celui-ci.
- 4 : tracer une droite passant par les deux points où les cercles se coupent.
- 5 : tracer un arc de cercle ayant pour centre l'intersection des deux droites et passant par le centre des cercles précédents.
- 6 : tracer une droite passant par l'intersection de la dernière droite et du dernier cercle, et par le centre du cercle tracé en 2.
- 7 : l'intersection avec le cercle donne la distance à reporter pour chaque côté de l'octogone
- 8 à 10 : reporter les côtés.
- 11 à 18 : tracer l'octogone.

Exemple d'utilisation

Panneau « stop » Dans de nombreux pays du monde, un panneau d'arrêt (STOP en Europe) est octogonal. Catégorie:Polygone cs:Osmiúhelník de:Achteck en:Octagon es:Octógono fi:Kahdeksankulmio ht:Oktagòn it:Ottagono ja:八角形 ka:ოქტაგონი nl:Achthoek pl:Ośmiokąt pt:Octógono sr:Осмоугао sv:Oktagon th:รูปแปดเหลี่ยม zh:八边形
Sujets connexes
Angle   Cercle circonscrit   Cercle inscrit   Construction à la règle et au compas   Pi   Polygone   Périmètre   Rayon (géométrie)   Superficie   Théorème de Gauss-Wantzel  
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