Axiomes des probabilités

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Dans la théorie des probabilités, une probabilité \ P est une application qui à un évènement \ A quelconque lié à l'expérience aléatoire \mathcal E associe un nombre réel (noté \ P(A)) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés
Axiomes des probabilités

Dans la théorie des probabilités, une probabilité \ P est une application qui à un évènement \ A quelconque lié à l'expérience aléatoire \mathcal E associe un nombre réel (noté \ P(A)) définie de telle manière qu'elle satisfasse les axiomes des probabilités ou axiomes de Kolmogorov, du nom d'Andrei Nikolaievitch Kolmogorov, mathématicien russe qui les a développés

Premier axiome

Pour tout évènement \ A : : 0 \leq P(A) \leq 1. C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement est représentée par un nombre réel compris entre 0 et 1.

Deuxième axiome

\ \Omega désignant l'univers associé à l'expérience aléatoire considérée, :\ P(\Omega) = 1, C'est-à-dire que la probabilité de l'évènement certain, ou d'obtenir un quelconque résultat de l'univers, est égale à 1. Autrement dit, la probabilité de réaliser l'un ou l'autre des évènements élémentaires est égale à 1.

Troisième axiome

Toute suite d'évènements deux à deux disjoints (on dit aussi : deux à deux incompatibles), A_1, \, A_2, \dots satisfait : : P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = \sum_^+\infty P(A_i). C'est-à-dire que la probabilité d'un évènement qui est la réunion (dénombrable) disjointe d'évènements est égale à la somme des probabilités de ces évènements. Ceci s'appelle la σ-additivité, ou additivité dénombrable (si les évènements ne sont pas deux à deux disjoints, cette relation n'est plus vraie en général).

Conséquences

À partir des axiomes, se démontrent un certain nombre de propriétés utiles pour le calcul des probabilités, par exemple :
-: P(\emptyset)=0.
-:si \ A, \ B sont deux évènements incompatibles, alors P(A \cup B) = P(A) + P(B).
-:pour tous évènements \ A, \ B, P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). :Ceci signifie que la probabilité pour que l'un au moins des évènements \ A ou \ B se réalise est égale à la somme des probabilités pour que \ A se réalise, et pour que \ B se réalise, moins la probabilité pour que \ A et \ B se réalisent simultanément.
-: pour tout évènement \ A, P(\Omega \setminus A) = 1 - P(A). :Ceci signifie que la probabilité pour qu'un évènement ne se produise pas est égale à 1 moins la probabilité pour qu'il se réalise ; cette propriété s'utilise lorsqu'il est plus simple de déterminer la probabilité de l'évènement contraire que celle de l'évènement.
-:P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B); en particulier, si A \subset B, alors P(B \setminus A) = P(B) - P(A) :(il en résulte que si A \subset B, alors P(A) \leq P(B) : c'est la propriété de croissance de la probabilité). :La relation précédente signifie que la probabilité que B se réalise, mais pas A, est égale à la différence P(B) - P(A \cap B). Catégorie:Probabilités Probabilités de:Wahrscheinlichkeitstheorie en:Probability axioms es:Axiomas de probabilidad gl:Axiomas de probabilidade he:אקסיומות ההסתברות ja:確率空間 nl:Axioma's van de kansrekening pl:Aksjomaty Kołmogorowa ro:Axiomele probabilităţii ru:Аксиоматика Колмогорова sv:Kolmogorovs axiom th:สัจพจน์ของความน่าจะเป็น zh:概率公理
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