Groupe symétrique

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En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même.
Groupe symétrique

En mathématiques, plus particulièrement en algèbre, le groupe symétrique d'un ensemble E est le groupe des permutations de E, c'est-à-dire des bijections de E sur lui-même.

Définition

Soit E un ensemble. On appelle groupe symétrique de E l'ensemble des applications bijectives de E sur E muni de la composition d'applications. On le note \mathfrak(E) (ce caractère est un S). Un cas particulier courant est le cas où E est l'ensemble fini \1, 2, \ldots, n\, n étant un entier naturel strictement positif ; on note alors \mathfrak_n le groupe symétrique de cet ensemble. Les éléments de \mathfrak_n sont appelés permutations et \mathfrak_n est appelé groupe des permutations d'ordre n ou groupe symétrique d'indice n. Maintenant, si E \, est un ensemble à n éléments, alors on sait que \mathfrak_n est isomorphe à \mathfrak(E). En conséquence, il suffit de connaître les propriétés du groupe \mathfrak_n pour en déduire celles du groupe \mathfrak(E). C'est pourquoi la suite de cet article ne portera que sur \mathfrak_n.

Origine et importance

Historiquement, l'étude du groupe des permutations des racines d'un polynôme par Évariste Galois est à l'origine du concept de groupe. Un théorème de Cayley assure que tout groupe peut être considéré comme sous-groupe d'un groupe symétrique.

Propriétés

Le groupe \mathfrak_n est d'ordre n!. Cette propriété peut être prouvée en dénombrant les permutations. Il est également possible de faire une démonstration par récurrence, en donnant ainsi un lien entre les groupes symétriques d'ordre n-1 et n. :Démonstration par récurrence sur n. :\mathfrak_1 possède un seul élément. :Supposons que \mathfrak_ possède (n-1)! éléments. Considérons l'application ::\varphi : \left\lbrace \begin \mathfrak_n &\to &\1, \ldots, n\\times \mathfrak_ \\ \sigma & \mapsto & (\sigma(n), \sigma') \end \right. :où \sigma' est la restriction à \1, \ldots, n-1\ de la permutation (n, \sigma(n)) \sigma. \sigma' appartient bien à \mathfrak_ car \sigma'(n)=n donc \sigma'(i) < n pour tout 1\leq i < n. :On montre la bijectivité de \varphi en exhibant l'application réciproque. On en déduit que le cardinal de \mathfrak_n est égal à celui de \1, \ldots, n\\times \mathfrak_ c'est-à-dire n.(n-1)!=n!. Le groupe symétrique est isomorphe au groupe formé par les matrices de permutation muni de la loi produit : ce sont les matrices ayant un unique coefficient 1 dans chaque ligne et chaque colonne, tous les autres étant nuls.

Générateurs du groupe symétrique

Une transposition est une permutation qui échange deux éléments et laisse les autres inchangés. On note par (i, j) la transposition qui échange l'élément i avec l'élément j. Il existe un algorithme permettant de décomposer une permutation en produit de transpositions. Ainsi l'ensemble des transpositions forme un système de générateurs de \mathfrak S_n Il est possible de se limiter aux transpositions de la forme \tau_i=(i, i+1) puisque, pour ''i
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