Application identité

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En mathématiques, sur un ensemble X donné, une application identité ou fonction identité id est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument : :\forall x\in X, f(x)=x\in X. Le graphe de la fonction id est appelée la diagonale de l'espace produit X×X. Pour X=R, l'ensemble des nombres réels, le graphe est la
Application identité

En mathématiques, sur un ensemble X donné, une application identité ou fonction identité id est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours la valeur qui est utilisée comme argument : :\forall x\in X, f(x)=x\in X. Le graphe de la fonction id est appelée la diagonale de l'espace produit X×X. Pour X=R, l'ensemble des nombres réels, le graphe est la première bissectrice du plan euclidien.

Notations

L'application identité sur X est notée id, idX , Id ou encore IdX . Elle est parfois notée 1X , mais cette dernière notation peut prêter à confusion avec l'indicatrice d'une partie A d'un ensemble X.

Propriétés remarquables

Pour toute application d'un ensemble X dans un ensemble Y, on a : :f\circ id_X=f=id_Y\circ f. En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de X dans lui-même. L'application identité est une bijection de X dans lui-même. L'ensemble des bijections d'un ensemble X dans lui-même, muni de la composition de fonctions, constitue un groupe (appelée groupe symétrique) non vide, dont l'application identité est l'élément neutre.

En topologie

L'application identité permet de comparer deux topologies : Soient deux topologies T et T' définies sur un même ensemble E. Si l'application identité de (E, T) dans (E, T') est continue, on dit que la topologie T est plus fine que T'. Identite Catégorie:Théorie des ensembles da:Identitetsfunktion de:Identische Abbildung en:Identity function fi:Identiteettifunktio it:Funzione identità ja:恒等関数 ko:항등 함수 lmo:Aplicazziú idéntica nl:Identiteitsfunctie pl:Odwzorowanie tożsamościowe pt:Função identidade ru:Тождественное отображение sv:Identitetsfunktion tr:Özdeşlik göndermesi zh:恆等函數
Sujets connexes
Bijection   Composition de fonctions   Continuité   Ensemble   Espace topologique   Groupe (mathématiques)   Groupe symétrique   Mathématiques   Monoïde   Plan euclidien  
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