Axiome du choix

Infos
L'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie axiomatique des ensembles.
Axiome du choix

L'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie axiomatique des ensembles.

Énoncé

Dans sa forme première, l'axiome du choix s'énonce littéralement comme suit : :« Étant donnée une famille non vide d'ensembles non vides, il existe une fonction, appelée fonction de choix qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. » Cet axiome se traduit par le prédicat : (\forall X)\; \left\Longrightarrow\left\; . Dans certains cas particuliers, une telle fonction peut être explicitement définie. Par exemple, si X désigne une famille de parties x non vides de \mathbb N, alors on peut poser f(x) égal à l'élément minimal de x. Mais dans le cas général, l'existence de f repose sur l'axiome ci-dessus.

Autres formulations

Il existe d'autres énoncés équivalents à l'axiome du choix, dont les suivants :
- « Le produit d'une famille non vide d'ensembles non vides est non vide » : (\forall X)\; \left\Longrightarrow \prod_y\in Xy\neq \emptyset\; ;
- « Toute surjection sur un ensemble non vide est inversible à droite » ;
- Pour toute relation d'équivalence R sur un ensemble non vide X, il existe un choix de représentants de R, autrement dit un sous-ensemble Y de X tel que tout élément de X est R-équivalent à un unique élément de Y.
- Théorème de Zermelo : « Tout ensemble non vide est bien ordonnable (c'est-à-dire peut être muni d'une structure de bon ordre) » ;
- Lemme de Zorn : « Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal » ; boîte déroulante|titre=Démonstration des équivalences|contenu=
- L'axiome du choix est équivalent au premier énoncé. Si X est une famille non vide d'ensembles non vides, le produit \prod_y\in Xy est exactement l'ensemble des fonctions de choix de X. Demander à ce qu'il soit non vide équivaut simplement à l'existence d'une fonction de choix !
- L'axiome du choix est équivalent au second énoncé. Pour X une famille non vide d'ensembles non vides, on note Y la réunion disjointe des ensembles appartenant à X. Il existe une surjection naturelle Y\rightarrow X qui à un élément de Y associe l'unique ensemble de X auquel il appartient. Réciproquement, si s:Y\rightarrow X est une surjection, alors X est en bijection avec \s^(x), x\in X\. Une fonction de choix de X s'identifie avec une section de s (inverse à droite).
- L'axiome du choix est équivalent au troisième énoncé. Si X est une famille non vide d'ensembles non vides, si Y est la réunion disjointe des ensembles de X, il existe une relation d'équivalence naturelle sur Y : deux éléments sont dits équivalents s'ils appartiennent à un même ensemble de X. Réciproquement, si R est une relation d'équivalence sur un ensemble non vide Y, l'ensemble X des classes d'équivalence est une famille non vide d'ensembles non vides. Une fonction de choix de X est exactement un choix d'un ensemble de représentants de R.
- Le lemme de Zorn implique l'axiome du choix. Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit I l'ensemble des fonctions de choix f pour une sous-famille Y de X. L'ensemble I est non vide, car il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de X. Cet ensemble est ordonné par le prolongement des applications. I est un ensemble inductif. Si le lemme de Zorn est vérifié, I admet un élément maximal, autrement dit une fonction de choix définie sur une sous-famille maximale Y de X. Si par l'absurde Y était différent de X, associer à un ensemble appartenant à X-Y un de ses éléments est toujours possible et permettrait de prolonger f à une sous-famille strictement plus grande, ce qui contredit la maximalité. Donc, Y=X et f est une fonction de choix pour X.
- Le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix. Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit Y la réunion des ensembles appartenant à X. Par le théorème de Zermelo, Y peut être muni d'un bon ordre
Sujets connexes
Algorithmique   Axiome   Axiome de fondation   Bertrand Russell   Coloration de graphe   Ensemble   Ensemble fini   Ensemble inductif   Espace complet   Espace de Banach   Espace séparable   Lemme de Zorn   Nombre hyperréel   Paradoxe de Banach-Tarski   Relation bien fondée   Richard Dedekind   Théorie axiomatique des ensembles   Théorie des graphes   Théorème de Baire   Théorème de Hahn-Banach   Théorème de Zermelo   Théorème de la base incomplète  
#
Accident de Beaune   Amélie Mauresmo   Anisocytose   C3H6O   CA Paris   Carole Richert   Catherinettes   Chaleur massique   Championnat de Tunisie de football D2   Classement mondial des entreprises leader par secteur   Col du Bonhomme (Vosges)   De viris illustribus (Lhomond)   Dolcett   EGP  
^