Georg Cantor

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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une « infinité d
Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (3 mars 1845, Saint-Pétersbourg - 6 janvier 1918, Halle) est un mathématicien allemand connu pour être le créateur de la théorie des ensembles. Il établit l'importance de la bijection entre les ensembles, définit les ensembles infinis et les ensembles bien ordonnés. Il prouva également que les nombres réels sont « plus nombreux » que les entiers naturels. En fait, le théorème de Cantor implique l'existence d'une « infinité d'infinis ». Il définit les nombres cardinaux, les nombres ordinaux et leur arithmétique. Le travail de Cantor est d'un grand intérêt philosophique (ce dont il était parfaitement conscient) qui a donné lieu à maintes interprétations et à maints débats. Cantor a été confronté à la résistance de la part de mathématiciens contemporains, en particulier Kronecker. Poincaré, bien qu'il connût et appréciât les travaux de Cantor, avait de profondes réserves sur son maniement de l'infini en tant que totalité achevéeCes réserves furent reprises plus tard, par Brouwer et dans une moindre mesure Weyl. Wittgenstein avait également des objections de fond.. Les accès de dépressions récurrents du mathématicien, de 1884 à la fin de sa vie, ont été parfois attribués à l'attitude hostile de certains de ses contemporains, mais ces accès peuvent à présent être interprétés comme des manifestations d'un probable trouble bipolaire. Au XXI siècle, la valeur des travaux de Cantor n'est pas discutée par les mathématiciens. La grande majorité d'entre eux, qui ne sont ni constructivistes, ni finitistes, acceptent sans réserve les résultats de Cantor sur les ensembles et reconnaissent un changement de paradigme. Dans le but de contrer les détracteurs de Cantor, David Hilbert a affirmé : « Nul ne doit nous exclure du Paradis que Cantor a créé ».

Biographie

Enfance et études

Georg Cantor est né le à Saint-Pétersbourg. Son père est Georg Waldemar Cantor, un homme d'affaires danois et courtier à la bourse de St Pétersbourg ; c'est un luthérien fervent. Sa mère est Maria Anna Böhm, une femme de nationalité autrichienne, issue d'une famille de musiciens. Catholique de naissance, elle se convertit au protestantisme au moment de son mariage. Georg Cantor, fut élevé dans la foi luthérienne, foi qu'il conserva toute sa vie. Violoniste remarquable, il avait hérité du talent artistique et musical de sa famille maternelle. Lorsque le père de Cantor tomba malade, la famille chercha des hivers moins glaciaux qu'à Saint Pétersbourg. Elle alla s'installer en Allemagne en 1856, d'abord à Wiesbaden, ensuite à Francfort. En 1860, Cantor obtint un diplôme avec distinction à la Realschule de Darmstadt, où l'on remarqua ses performances exceptionnelles en mathématiques, notamment en trigonométrie. En 1862, suivant le souhait de son père, Cantor intégra l'École polytechnique fédérale de Zurich et entama des études supérieures en mathématiques. En 1863, à la mort de son père, Cantor préféra poursuivre ses études à l'université de Berlin. Il suivit les cours de Weierstrass, Kummer et Kronecker. Il se lia d'amitié avec Hermann Schwarz, alors étudiant. Il passa l'été à l'université de Göttingen, qui devint par la suite un grand centre de la recherche mathématique. En 1867, Berlin lui accorda le titre de Philosophiæ doctor pour une thèse portant sur la Théorie des nombres, De aequationibus secundi gradus indeterminatis.

Début de carrière

Après avoir enseigné pendant un an dans une école de filles à Berlin, Cantor s'installa en 1870 par l'université de Halle, où il fit toute sa carrière. Il obtint l'habilitation requise grâce à sa thèse. Cantor fut promu chargé de cours en 1872. En 1874, Cantor épousa Vally Guttmann. Ils auront six enfants, le dernier étant né en 1886. Cantor était en mesure de subvenir aux besoins de la famille malgré un modeste salaire académique grâce à l'héritage de son père. Heine avait posé la question de l'unicité de l'écriture d'une fonction périodique d'une variable réelle comme somme série de fonctions trigonométriques. Interressé par ce problème, Cantor a obtenu l'unicité pour les fonctions continues. En 1872, Cantor donna une importance à l'ensemble des points de discontinuité de la fonction, ce qui présuppose de manipuler des ensembles infinis. C'est ainsi que Cantor commença à s'interroger sur l'infini. En 1874, Cantor publia ses premiers travaux sur le sujet dans le journal de Crelle. Il donna la première preuve que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable.

Hostilités entre Cantor et Kroneker

En 1877, Cantor soumit son dernier article au Journal de Crelle, dans lequel il démontra qu'une surface est en bijection avec une droite réelle. Kronecker, mathématicien réputé, fut en désaccord avec ce qui fondait les travaux de Cantor en théorie des ensembles. Kronecker, perçu aujourd'hui comme un pionnier du constructivisme, ne pensait pas que l'on puisse envisager un ensemble infini comme une entité : . Kronecker pensait également qu'une preuve d'existence d'un objet mathématique satisfaisant à certaines propriétés devait donner une définition explicite d'un tel objet. La pensée de Kronecker n'est pas contraire à la position des mathématiciens de son temps. En 1879, Cantor obtint une chaire à l'université de la Halle. Atteindre le plus haut rang à l'âge de 34 ans était une performance notable, mais Cantor aurait préféré avoir une chaire dans une université plus prestigieuse, en particulier à Berlin où se trouvait la meilleure université allemande. Toutefois, Kronecker se trouvait à la tête du secteur de mathématiques à Berlin jusqu'à sa mort en 1891 et il ne souhaitait pas avoir Cantor comme collègue. En 1881, Édouard Heine, un collègue de Cantor de l'université de Halle décède, laissant une chaire inoccupée. Halle accepta la proposition de Cantor, selon laquelle la chaire pouvait être attribuée successivement à Dedekind, Heinrich Weber, et Franz Mertens, mais chacun déclina la chaire. Le manque d'intérêt de la part de Dedekind est surprenant, étant donné qu'il enseignait dans une école d'ingénieur de faible niveau et portait une lourde charge administrative. Cet épisode est révélateur du manque de réputation du département allemand de mathématiques de Halle. Albert Wangerin fut finalement nommé, mais ne se rapprocha jamais de Cantor.

Dépression

En 1884, Cantor souffrit de son premier accès de dépression. Selon Éric Temple Bell, sa crise proviendrait d'un sentiment d'insécurité provenant d'un conflit freudien avec son père. Selon Joseph Dauben, il est plus probable que cette crise soit causée par les attaques de Kronecker. Cette crise émotionnelle le mena à donner des cours de philosophie, plutôt que de mathématiques. Chacune des 52 lettres que Cantor a écrites à Mittag-Leffler au cours de cette année attaquait Kronecker. Cantor se remit rapidement, mais un passage de l'une de ses lettres révèle une perte de confiance en lui-même : :« ...Je ne sais pas quand je pourrai retourner à la poursuite de mes travaux scientifiques. Pour le moment, je ne peux absolument rien faire pour cela, et cela me limite à donner le strict nécessaire de mes cours ; ô combien voudrais-je être actif en sciences, si seulement j'avais la vivacité mentale nécessaire. » Bien qu'il produisit quelques travaux de valeur après 1884, il ne retrouva pas le haut niveau de ses remarquables productions entre 1874 et 1884. Il proposa une réconciliation avec Kronecker, qui accepta sans réticences. Malgré tout, le désaccord philosophique et les difficultés qui les divisaient persistèrent. On dit parfois que les accès dépressifs récurrents de Cantor ont été déclenchés par l'opposition de Kronecker à son travail. Les difficultés relationnelles de Cantor, les troubles de sa production mathématique, furent certainement exacerbées par sa dépression, mais on peut douter qu'elles en soient la cause. En 1888, il publia ses correspondances avec plusieurs philosophes au sujet des implications philosophiques de sa théorie des ensembles. Edmund Husserl fut un de ses collègues à Halle et un ami, entre 1886 et 1901. La réputation de Husserl s'est faite en philosophie, mais à l'époque il préparait un doctorat de mathématiques dirigé par Leo Königsberger, un étudiant de Weierstrass. Cantor écrivit aussi sur les implications théologiques de ses travaux en mathématiques ; il aurait identifié l'« infini absolu », l'infini d'une classe propre comme celle de tous les cardinaux ou de tous les ordinaux, à Dieu. Cantor croyait que Francis Bacon avait écrit les pièces attribuées à Shakespeare. Pendant sa période de maladie, en 1884, il entama une étude approfondie de la littérature élisabéthaine, dans le but de prouver cette thèse. Il publia finalement deux pamphlets, en 1896 et 1897, qui exposaient ses vues. En 1890, Cantor participe à la fondation de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung. Il en organise la première réunion à Halle en 1891 et en est élu président. Cela montre clairement que l'attitude de Kronecker n'a pas été fatale à sa réputation. Malgré l'animosité qu'il éprouvait pour Kronecker, Cantor l'invita à prendre la parole lors de cette réunion ; Kronecker en fut incapable, car son épouse était à ce moment-là à l'article de la mort. Après le décès de son plus jeune fils, en 1899, Cantor souffre d'une dépression chronique, qui le suivit jusqu'à la fin de sa vie, et pour laquelle il fut dispensé d'enseignement à plusieurs reprises et enfermé de manière répétitive en sanatorium. Il n'abandonna pas complètement les mathématiques : il donne des cours sur les paradoxes de la Théorie des ensembles (attribués de manière éponyme à Burali-Forti, Russell, et Cantor lui-même) lors d'une conférence de la Deutsche Mathematiker-Vereinigung, en 1903, et assiste au Congrès international des Mathématiciens à Heidelberg en 1904. En 1903, il est lauréat de la médaille Sylvester de la Royal Society. Cantor prit sa retraite en 1913 ; il souffrit de pauvreté et même de faim au cours de la Première Guerre mondiale. La célébration publique de ses 70 ans fut annulée à cause de la guerre. Il mourut à l'hôpital où il avait passé la dernière année de sa vie.

Œuvre

Cantor fut l'initiateur de la Théorie des ensembles, à partir de 1874. Certains, comme Galilée avaient déjà remarqué qu'un ensemble infini, comme les carrés des nombres entiers, pouvait être mis en correspondance avec un ensemble infini le contenant strictement, en l'occurrence tous les entiers. Il y a d'une certaine façon « autant » de carrés de nombres entiers que de nombres entiers. Cantor est le premier à donner un sens précis à cette remarque, à l'aide de la notion de bijection qu'il introduit (sous un autre nom) à l'occasion, puis à la systématiser. Par exemple Cantor montre qu'il y a autant de nombres rationnels, ceux représentés par des fractions, que de nombres entiers. Cantor va plus loin et découvre qu'il y a plusieurs infinis, au sens où ils ne peuvent être mis en correspondance entre eux par une bijection : il montre en 1874 que la droite réelle contient plus de nombres irrationnels (« beaucoup plus ») que de nombres rationnels, mais aussi que de nombres algébriques (solutions d'équations polynomiales à coefficients entiers). Cantor introduit la notion d'ensemble dénombrable ou infini dénombrable : un ensemble qui peut être mis en bijection avec les nombres entiers, c’est-à-dire que l'on peut, d'un certaine façon, numéroter tous ses élements par des entiers (sans répétition mais ce n'est pas essentiel). Il montre que les ensembles des nombres entiers relatifs, des nombre rationnels, et des nombres algébriques sont tous dénombrables, mais l'ensemble des nombres réels ne l'est pas. Il donne une preuve élégante et très courte de ce dernier résultat en 1891, où il utilise ce qui est connu maintenant comme l'argument diagonal de Cantor, et qui a été depuis très utilisé, en particulier en logique mathématique et en théorie de la calculabilité. Il utilise cet argument pour montrer que l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble A, appelé ensemble des parties de A, a strictement plus d'éléments que A, même si A est infini, c’est-à-dire que ces deux ensembles ne peuvent être mis en bijection. Cette proposition est aujourd'hui appelée Théorème de Cantor. Elle a pour conséquence, l'existence d'une hiérarchie stricte d'ensembles infinis. Pour étudier l'infini, Cantor introduit deux notions de nombres et leur arithmétique particulière (somme, produit ...). La première est celle de nombre cardinal, qui caractérise une classe d'ensembles pouvant être mis en bijection. Le plus petit nombre cardinal infini est celui des entiers naturels, le dénombrable. Le cardinal des nombres réels, ou de façon équivalent de l'ensemble des sous-ensembles des entiers naturels, est la puissance du continu. Cantor introduit la lettre hébraïque א (aleph) pour désigner les cardinaux, notation toujours en usage aujourd'hui. Ainsi le cardinal de l'ensemble des entiers naturels est noté ℵ0 (lire aleph zéro). La puissance du continu est un cardinal forcément supérieur ou égal au cardinal suivant immédiatement le dénombrable, que l'on note ℵ1. Cantor supposait que c'était ℵ1, c'est l'hypothèse du continu. La seconde est celle de nombre ordinal, qui généralise les entiers en tant qu'ils sont ordonnés. Il utilise pour cela la notion de bon ordre, qu'il introduit en 1883. Cantor note les ordinaux avec des lettres grecques, le plus petit ordinal infini, celui de l'ensemble des entiers naturels, est noté ω0 (aujourd'hui simplement ω). Pour les nombres cardinaux il utilise en fait un ordinal en indice de la lettre ℵ. Les dix premières productions de Cantor portaient sur la Théorie des nombres, le sujet de sa thèse. Suivant la suggestion du professeur Édouard Heine, Cantor s'oriente vers l'analyse. Heine propose à Cantor de résoudre un problème dont la solution échappait à Dirichlet, Lipschitz, Bernhard Riemann et Édouard Heine lui-même : l'unicité de la représentation d'une fonction par une série de Fourier. Cantor résou ce problème difficile en 1869. Entre 1870 et 1872, Cantor publie d'autres travaux sur les séries trigonométriques, incluant une définition des nombres irrationnels comme des suites convergentes de nombres rationnels. C'est l'une des deux constructions usuelles des nombres réels. Dedekind, avec qui Cantor s'est lié d'amitié en 1872, cite ce travail dans la publication contenant sa propre construction des nombres réels, à partir de ce que l'on appelle maintenant les coupures de Dedekind. La publication de Cantor de 1874, "Sur une propriété caractéristique de tous réels algébriques", est celle qui a marquée la naissance de sa Théorie des ensembles. Elle a été publiée dans le Journal de Crelle, malgré l'opposition de Kronecker et grâce au soutien de Dedekind. C'est dans celle-ci qu'il prouve que les nombres réels ne sont pas dénombrables, en utilisant une preuve plus complexe que le remarquablement élégant argument diagonal, célèbre à juste titre, qu'il établit en 1891. La publication de 1874 montre alors que les nombres algébriques, c’est-à-dire les racines d'équations polynomiales à coefficients entiers, sont dénombrables. Les nombres réels qui ne sont pas algébriques sont transcendants. Liouville avait établi l'existence de nombres transcendants en 1851. Cantor ayant démontré que l'ensemble des nombres réels n'est pas dénombrable, et que l'union de deux ensembles dénombrables doit être dénombrable, et comme un nombre réel est soit algébrique, soit transcendant, l'ensemble des nombres transcendants n'est pas dénombrable. Il y a en fait autant de nombres transcendants que de nombres réels. On en déduit une preuve très simple d'un théorème, dû à Liouville, selon lequel il y a une infinité de nombres transcendants dans chaque intervalle.

Notes

Bibliographie

- 1872 – Über die Ausdehnung eines Satzes aus der trigonometrischen Reihen, Mathematische Annalen 5, p. 123-132 (Cantor ).
- 1874 – Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262, (Cantor ).
- 1878 – Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre, Journal de Crelle 84, p. 242-258 (Cantor ).
- 1879
- a – Über einen Satz aus der Theorie der stetigen Mannigfaltigkeiten. (Cantor ).
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 1. (Cantor ).
- 1880 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 2. (Cantor ).
- 1882 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 3. (Cantor ).
- 1883
- a – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 4. (Cantor .
- b – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 5. Grundlagen einer allgemein Mannigfaltigkeitslehre. Ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen (Cantor ).
-
-bfr – Fondements d'une théorie générale des ensembles. Leibzig, Teubner. Trad. Milner in Cahiers pour l'Analyse 10. La formalisation, pp. 35-52, le Seuil, Paris 1969.
-1884 – Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten, 6. (Cantor ).
-1887-1888 – Mitteilungen zur Lehre vom Transfiniten. (Cantor ).
-1890 – Gesammelte Abhandlungen zur Lehre vom Transfiniten, Halle, C.E.M. Pfeffer (Cantor ).
-1891 – Über eine elementare Frage zur Mannigfaltigkeitslehre, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1, p.75-78 (Cantor ).
- fr - Traduction et introd. H. Sinaceur : Sur une question élémentaire de la théorie des ensembles, in Logique et fondements des mathématiques, Anthologie (1850-1914), Paris, Payot, p. 197-203.
-1895-1897 – Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46, p. 481-512; 49, p. 207-246 (Cantor ).
- fr - Trad. Sur les fondements de la théorie des ensembles transfinis. Trad F. Marotte. In Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, rééd. Gabay, Paris 1989. Disponible sur http://gallica.bnf.fr .
-1905 – Ex Oriente Lux, Gespräche eines Meisters mit seinem Schüler über wesentliche Puncte des urkundlichen Christenthums. Berichtet vom Schüler selbst. Halle: C. E. M. Pfeffer.
-1932 – . -88mb! , éd. par Ernst Zermelo. Presque tous les écrits de Cantor (en Allemand).
- Correspondance Cantor-Dedekind, Trad. J. Cavaillès. in CAVAILLÈS J., Philosophie des mathématiques. Paris, Hermann, 1962, p. 179-250. :Signalons aussi le document électronique disponible sur le site de la BNF qui rassemble la majorité des œuvres de Cantor traduites en français : , , , , , , , , . Cela dit, si certaines de ces traductions ont été revues par Poincaré, d’autres sont souvent mauvaises et éparses, et sont donc à consulter avec toutes les précautions nécessaires. Voir la présentation de Pierre Dugac pour plus de détails.
- O'Connor, J. J., and Robertson, E.F. MacTutor archive.
- Biographie
- . :Ces deux articles sont les principales sources de la version anglaise, et donc de celle-ci.

Voir aussi

Bibliographie

- Nathalie Charraud, Infini et Inconscient, essai sur Georg Cantor, Economica, 1994 ===
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