Ensemble fini

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En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels. On note alors le nombre d'éléments de E, ou la cardinalité de E : :Card(E) = n :
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E = n :|E| = n Par convention, l'ensemble vide a pour cardinal 0. E
Ensemble fini

En mathématiques, un ensemble E est dit fini si et seulement si E est vide ou s'il existe un entier n et une bijection de E dans l'ensemble des n premiers entiers naturels. On note alors le nombre d'éléments de E, ou la cardinalité de E : :Card(E) = n :
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E = n :|E| = n Par convention, l'ensemble vide a pour cardinal 0. E est fini au sens de Dedekind s’il n'est pas infini, c'est-à-dire si et seulement s'il ne peut pas être mis en bijection avec l'une de ses parties strictes (ou encore : toute injection de E dans lui-même est surjective). E fini implique E fini au sens de Dedekind, mais la réciproque nécessite l'axiome du choix.

Caractérisation

Nous noterons || l'ensemble \cap \mathbb. Si F est en bijection avec E, un ensemble fini non vide, alors F est non vide, et card(E) = card(F). :En effet, E est fini, donc en notant n son cardinal, il existe f : || \rightarrow E une bijection, et par hypothèse, il existe g : E \rightarrow F. :La composée de bijections est une bijection, donc g \circ f : \rightarrow F est bijective. :Donc F est fini car en bijection avec les n premiers entiers naturels, et card(F) = n.

Parties

Soit n \in \mathbb, E un ensemble fini de cardinal n, a un élément de E (qui existe car E non vide). E \backslash \a\ est fini de cardinal n - 1. :Si n=1, alors E = \a\, donc E \backslash \a\ = \varnothing qui est fini, et Card( \varnothing ) = 0 = 1-1. :Si n \ge 2, alors il existe h : || \rightarrow E une bijection. ::Si h(n) = a, alors \tilde h : || \rightarrow E \backslash \a\ est encore bijective, donc E \backslash \a\ est fini de cardinal n - 1. ::Si h(n) \ne a, alors par bijectivité de h, il existe un unique l tel que h(l) = a \, . ::On considère \begin \sigma : & || \rightarrow || & \ \\ \ & \sigma(k) = k & \forall k \in || \backslash \l ; n \ \\ \ & \sigma(l) = n & \ \\ \ & \sigma(n) = l & \ \end ::\sigma \circ \sigma = \operatorname_, donc \sigma est bijective. ::h \circ \sigma : || \rightarrow E est bijective comme composée, et h \circ \sigma (n) = a. On s'est ramené au cas précédent, et E \backslash \a\ est fini de cardinal n - 1. Toute partie d'un ensemble fini est finie. :La démonstration se fait par récurrence avec ce qui précède.

Opérations

La réunion d'ensembles finis est finie. Plus précisément, si A et B sont deux ensembles finis, alors A \cup B et A \cap B sont finis, et \operatorname (A \cup B) = \operatorname A + \operatorname B - \operatorname (A \cap B). catégorie:Théorie des ensembles cs:Konečná množina de:Endliche und unendliche Menge en:Finite set es:Conjunto finito fi:Äärellinen joukko it:Insieme finito lmo:Cungjuunt finii nl:Eindig pl:Zbiór skończony pt:Conjunto finito sh:Konačni i beskonačni skupovi simple:Finite set sk:Konečná množina uk:Скінченна множина zh:有限集合
Sujets connexes
Axiome du choix   Bijection   Ensemble   Ensemble vide   Infini   Injection (mathématiques)   Mathématiques   Nombre cardinal   Richard Dedekind   Sous-ensemble   Surjection  
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