Antécédent (mathématiques)

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Antécédent (mathématiques)

Définition

En mathématiques, étant donnés deux ensembles non vides E, F et une application \ f : E \to F, on appelle antécédent (par f) d'un élément y de F tout élément x de E tel que \ f (x) = y. Un antécédent est donc, par définition, un élément de l'image réciproque \ f^(\y\).

Exemples

-Soient la fonction \ f : \R \to \R, \, x \mapsto x^2 et y un réel. :Si y > 0, y admet deux antécédents, qui sont \ \sqrt et \ -\sqrt :Si y = 0, y admet un seul antécédent, qui est 0 :Si y < 0, y n'admet aucun antécédent
-Soient E un ensemble non vide, et une application \ f : E \to \mathcal(E), où \ \mathcal(E) désigne l'ensemble des parties de E. On définit \ Y = \x \in E\, /\, x \notin f(x)\ : Y est une partie de E, autrement dit un élément de l'ensemble \ \mathcal(E). :Cet élément n'admet aucun antécédent par f. En effet, supposons qu'un tel antécédent \ x_0 \in E existe. On a donc \ f (x_0) = Y. :Deux cas sont possibles : ::\ x_0 \in Y, ce qui veut dire (par définition de Y) que \ x_0 \notin f(x_0), ou \ x_0 \notin Y ::\ x_0 \notin Y, ce qui veut dire (par définition de Y) que \ x_0 \in f(x_0), ou \ x_0 \in Y :Dans les deux cas, on aboutit à une contradiction, ce qui prouve par l'absurde que Y n'a pas d'antécédent (cf. l'argument de la diagonale de Cantor).

Image d'un ensemble par une application

Soient une application \ f : E \to F et A un sous-ensemble de E. On appelle image de A par f l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent appartenant à A ; on la note \ f (A): :\ f (A) = \y \in F\, /\, \exists\, x \in A, y = f(x)\. En particulier, l'image de E par f, appelée image de f, est l'ensemble des éléments y de F qui admettent au moins un antécédent : :\ f (E) = \y \in F\, /\, \exists\, x \in E, y = f(x)\.

Injections, surjections, bijections

Soit une application \ f : E \to F.
-On dit que f est injective, ou que c'est une injection, si tout élément de F admet au plus un antécédent.
-On dit que f est surjective, ou que c'est une surjection, si tout élément de F admet au moins un antécédent, c'est-à-dire si :\ f (E) = F.
-On dit que f est bijective, ou que c'est une bijection, si tout élément de F admet un antécédent et un seul, c'est-à-dire si f est à la fois injective et surjective. :Dans ce cas, on peut définir l'application \ f^ : F \to E, y \mapsto x, où x est l'unique antécédent de y par f. C'est aussi une bijection, dite réciproque de f. (l'exemple vu plus haut montre qu'il n'existe aucune application surjective \ f : E \to \mathcal(E)).

Voir aussi

- Injection
- Surjection
- Bijection Catégorie:Théorie des ensembles de:Urbild (Mathematik)
Sujets connexes
Argument de la diagonale de Cantor   Bijection   Ensemble   Injection (mathématiques)   Mathématiques   Surjection  
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