Limite de suite

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De manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de "se rapprocher". Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (la valeur absolue dans R, la norme dans C) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie. Dans cet article seront présentées d'abord la
Limite de suite

De manière intuitive, la limite d'une suite est l'élément dont les termes de la suite se rapprochent quand les indices deviennent très grands. Cette définition intuitive n'est guère exploitable car il faudrait pouvoir définir le sens de "se rapprocher". Cette notion sous-entend l'existence d'une distance (la valeur absolue dans R, la norme dans C) mais on verra que l'on peut même s'en passer pourvu qu'on ait une topologie. Dans cet article seront présentées d'abord la notion de limite de suite réelle, puis celle de suite complexe et seulement après, quitte à être redondant, celle de limite sur un espace topologique.

Un peu d'histoire

Il est intéressant de noter que, si la formalisation de la limite d'une suite vient assez tard, son utilisation intuitive date de plus de deux mille ans. Dans les éléments d'Euclide (X.1) on peut lire : étant données deux grandeurs inégales, si, de la plus grande on retranche plus que la moitié, et que du reste on retranche plus que la moitié et si l'on continue toujours ainsi, nous aboutirons à une grandeur inférieure à la plus petite des grandeurs donnée. En langage actuel, cela donnerait : :soit (u_n) une suite de réels positifs tel que , pour tout n, u_ N, u_n > 0 et si \lim u_n = 0 alors \lim \tfrac = +\infty.
- S'il existe N tel que, pour tout n > N, u_n < 0 et si \lim u_n = 0 alors \lim \tfrac = -\infty. Deux résultats sont assez faciles à obtenir :
- toute suite croissante non majorée tend vers + \infty et toute suite décroissante non minorée tend vers - \infty
- toute suite supérieure à une suite tendant vers + \infty tend vers + \infty et toute suite inférieure à une suite tendant vers - \infty tend vers - \infty

Exemples de suites n'admettant pas de limite

Certaines suites, non seulement sont divergentes mais n'admettent pas de limite. C'est le cas, par exemple,
- des suites géométiques de raison inférieure à -1 : la suite (1, -2, 4, -8, 16, -32....) diverge et ne tend ni vers -\infty ni vers + \infty
- de la suite (sin(n)) , suite bornée n'admettant pas de limite
- d'un certain nombre de suites logistiques au comportement chaotique

Opérations sur les limites

On démontre que les opérations sur les suites convergentes se transmettent à leurs limites pour peu que l'opération ait un sens. Mathématiquement parlant, cela signifie que si \lim u_n = \ell et si \lim v_n = \ell ' alors
- \lim (u_n +v_n) = \ell + \ell '
- \lim (u_n \times v_n) = \ell \times \ell '
- Si \ell' \neq 0 \lim \frac = \frac\ell\ell ' De plus, si f est une fonction continue en \ell et si f(u_n) est définie alors \lim f(u_n) = f(\ell) L'intervention de suites tendant vers \pm \infty rend les calculs un peu plus compliqués:
- Somme :
-si une suite converge et l'autre tend vers l'infini, la somme a même limite que la suite tendant vers l'infini.
- si les deux suites tendent vers le même infini, il en est de même de leur somme
- si les deux suites tendent vers deux infinis différents, on ne peut pas conclure directement, on dit alors que l'on tombe sur une forme indéterminée
- Produit: on pourra, à condition qu'une limite existe, appliquer la règle des signes
- Si une suite converge vers un réel non nul et l'autre tend vers l'infini, le produit tendra vers un infini dont le signe se détermine par la règle des signes
- Si les deux suites tendent vers l'infini, il en sera de même de leur produit.
- Si une des suites tend vers 0 et l'autre vers l'infini, on ne peut pas conclure directement , c'est une seconde forme indéterminée.
- Inverse
- Si une suite tend vers l'infini alors son inverse converge vers 0
- Si une suite, de signe constant, converge vers 0 alors son inverse tend vers l'infini

Limite d'une suite complexe

On dit qu'une suite converge vers un complexe \ell si et seulement si :(\forall \epsilon \in \mathbb R_+^
-)(\exists N \in \mathbb N) (\forall n \in \mathbb N) (n \geq N \Rightarrow |u_n - \ell|
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